Katedra Automatyki Napędu i Urządzeń Przemysłowych

Wydziału Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki

Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie

Serdecznie wita na stronie poświęconej Automatyce.


Człowiek od zawsze starał się zrozumieć otaczającą go przyrodę. Minęły całe wieki, zanim się zorientował, że to, co zaobserwuje można ująć w ilościowe i jakościowe związki. Skoro raz mu się to udało - starał się to robić tak często, jak to tylko było możliwe.

Z czasem stało się jasne, że zdumiewająco wiele rzeczy odbywa się zgodnie z przewidywaniami matematycznymi. A skoro tak, to grzechem byłoby nie wykorzystać tej wiedzy do swoich celów.

I chociaż dziś nikt nie wyobraża sobie ścisłego opisu świata bez zastosowania matematyki, to chyba nikt tak naprawdę nie wie tego, dlaczego tak wiele z naszej rzeczywistości daje się opisać za pomocą jej języka. Można zaryzykować stwiedzenie, że człowiek na tyle rozumiał świat, na ile pozwalała mu na to wiedza matematyczna.

Tymczasem potrafiono za pomocą matematyki opisywać tak wiele, że tak zwane nauki przyrodnicze rozpadły się na mniejsze, pokrewne dyscypliny, bowiem nie sposób było dla żadnego śmiertelnika uprawiać jednej, ogromnej, ale za to całościowego obejmującej całą przyrodę dziedziny naukowej.

(Z resztą chyba nie ma takiej potrzeby: aby być dobrym specjalistą z zakresu techniki wysokich napięć, nie jest potrzebna znajoność chemii molekularnej, a aby być dobrym automatykiem nie jest niezbędna znajomość zjawisk kwantowych, chociaż jest to przecież fragment tego samego, jednego świata. I bardzo dobrze, że tak jest. Bo to tak, jak dobra gosposia potrafi ugotować smaczny obiad, ale nie zna się na swoim samochodzie, który się jej zepsuł. Może go oddać do mechanika, który z łatwością go naprawi, ale gdyby nie jego żona, musiałby biedak jadać w restauracji, aby nie być głodnym. Oczywiście jedno nie przeszkadza drugiemu: żona tegoż mechanika z pewnością będzie zachwycona, jeśli ten przygotuje uroczystą kolację.
Tak więc przyroda jest dla nas niezmiernie łaskawa, że pozwała się nam podpatrywać "fragmentarycznie". Pozwala po pracy leniuchować mechanikowi i w rozleniwionej idylli przyglądać się żonie przygotowywującej obiad).

Tak powstała matematyka, fizyka, chemia, elektrotechnika, elektronika i tak dalej. Ta strona ma zamiar opowiedzieć o jeszcze jednym fragmencie naszego świata, o tej jego części, który daje się podglądać i okiełznąć przy pomocy automatyki. Przy czym, aby być ściślejszym - opowie jedynie o nikłym czubku góry lodowej skrywającej się w oceanie Teorii Sterowania - opowie o podstawach automatyce liniowej.

Ale wpierw zasatanówmy się wspólnie, czym jest automatyka?




CZYM JEST AUTOMATYKA

(według automatyków)

Automatycy pojęcie "automatyka" są skłonni pojmować jako "sterowanie automatyczne" i jest ona dla nich zbiorem teorii matematycznych i wpojoną im techniką rozumowania w odniesieniu do pewnej klasy problemów, które są w stanie rozwiązać, a dotyczącą podejmowania i wykonywania decyzji przez maszynę lub automat - w całej automatyce chodzi bowiem o to, aby z owego sytemu - podejmowanie-wykonywanie decyzji - wyeliminować człowieka.

Zadaniem automatyki jest określenie decyzji, jaką trzeba podjąć wobec systemu, aby otrzymać jego z góry określone właściwości. Decyzję tę podejmuje się na podstawie informacji posiadanych o tym systemie.

Schemat ogólny układu sterowania

Ogólny schemat układu sterowania przedstawia powyższy rysunek. Spróbujmy omówić go na przykładzie dzieciaka, którego mama wysłała do szkoły. Załóżmy, że chłopak ma do niej spory kowałek drogi, więc jeździ do niej na rowerze. Ponieważ dobrze umie na nim jeździć, więc wie, jak się zachowuje jego rower podczas jazdy; młody rowerzysta uwzględnia odbierane sygnały wzrokowe i podejmuje takie decyzje co do kierunku i prędkości jazdy, jakie umożliwią mu pokonanie drogi do szkoły w zamierzony sposób. Zamiast słowa "zamierzony", automatycy używają słowa - optymalny.

Cóż może dla malca znaczyć pokonanie drogi w sposób optymalny? Generalnie możemy powiedzieć, że sposób jazdy chłopca charakteryzuje kompromis, jaki musi wypracować uwzględniając długość drogi do szkoły, bezpieczeństwo swoje i innych, wygodę jazdy oraz jej zgodność z przepisami ruchu (o ile je zna).

W praktyce oznacza to, że chłopak jedzie spokojnie, jeśli ma dużo czasu, śpieszy się, gdy go nie ma lub jedzie opieszale, jeśli nie chce być na pierwszej lekcji, na której może być pytany.

Droga i rower stanowi w naszym przykładzie układ (lub inaczej układ sterowany), a mózg chłopaka oraz jego ręce i nogi - stanowią układ sterujący.

Sterowanie, to sygnały, jakie rowerzysta przekazuje do roweru, a więc nacisk na pedała i hamulce oraz kierownicę. Wielkości wyjściowe stanowią efekt jego działania, a są nimi położenie i prędkość.

Zakłócenia, to czynniki zewnętrzne działające na układ i powodujące takie zmiany wartości wielkości wyjściowych, że nie są one takimi, jakie powinny być w wyniku sterowania. Dla rowerzysty czynnikiem takim może na przykład być śliska nawieszchnia lub podmuch wiatru. Zadaniem układu sterującego jest takie sterowanie, aby zlikwidować owe niepożądane wartości wielkości wyjściowych powstałe w wyniku zakłóceń.

Cechą zakłóceń jest to, że najczęściej nie sposób ich przewidzieć.

Technicznym przykładem sterowania jest regulacja temperatury pomieszczenia ogrzewanego za pomocą paliwa. Układem jest w tym przykładzie pomieszczenie, a urządzeniem sterującym regulator odpowiedzialny za dozowanie dopływu paliwa do pieca, sterowaniem dopływ paliwa, a wielkością wyjściową temperatura pomieszczenia. Zakłóceniem może być na przykład otwarcie drzwi, które spowoduje raptowne obniżenie temperatury pomieszczenia. Należy zdawać sobie sprawę, że zakłóceniem jest tu także temperatura zewnętrzna. Żadne pomieszczenie nie jest idealnie izolowane cieplnie, a więc po pewnym czasie różnica pomiędzy temperaturą zewnętrzną a temperaturą pomieszczenia stanie się na tyle duża, że uład sterujący powinien dolać paliwa do pieca, aby zniwelować powstałą różnicę temperatur.

Przyjrzyjmy sie jeszcze raz schematowi ogólnemu sterowania i zastanówmy się, jaką rolę pełni człowiek całym systemie sterowania? Otóż w dobrze zaprojektowanym systemie sterowania rola człowieka sprowadza się do tego, że zadaje on urządzeniu sterującemu, jakich wartości wielkości wyjściowych żąda na wyściu. Zadaniem urządzenia sterującego jest wygenerowanie takiego sterowania, aby układ - pomimo zakłóceń - dał na wyjściu z góry zadane wielkości wyjściowe.




SYGNAŁY

Jak wspomniano, jednym z celów konstruowania systemu sterowania, jest wyeliminowanie człowieka z procesu sterowania (przykład z malcem śpieszącym do szkoły na rowerze był jedynie ilustracją służącą omówieniu tych elementów, jakie występują w każdym układzie sterowania). Człowiek narzuca jedynie sytemowi ogólne warunki, które muszą być spełnione na wyjściu układu. To urządzenie sterujące "ma się martwić" o to, jakie sterowanie musi "wytworzyć", aby wielkości wyjściowe były takie, jakich oczekuje człowiek.

Skoro czlowiek jedynie zadaje ogólne warunki, a wszystko "dalej" dzieje się... hm - chciałoby się rzecz - automatycznie, to musimy zdać sobie sprawę z tego, że człowiek nic nie "mówi" urządzeniu sterującemu jaki jest obecnie stan wielkości na wyjściu, czyli jakie są wielkości wyjściowe, ale urządzenie sterujące samo musi sobie owe wielkości wyjściowe zmierzyć lub w jakikolwiek sposób dostać informacje mówięce mu o stanie wyjścia. Skoro tak, to staje się oczywistym, że wielkości wyjściowe, jak również sterowanie muszą być wielkościami mierzalnymi technicznie.

Czyli mogą to być: prąd, napięcie, prędkość obrotowa, siła, długość, temperatura itd.

Stąd automatycy zarówno sterowanie, jak i wielkości wyjściowe zowią często sygnałami: sterowanie nazywają wejściem lub sygałem wejściowym, a wielkości wyjściowe zowią wyjściem lub sygnałem wyjściowym. Układ natomiast, nazywają obiektem.

Skoro powiedzieliśmy sobie tyle nowych pojąć to aż język w tym miejcu świerzbi, aby powiedzieć o jeszcze jednym ulubionym pojęciu automatyków, o transmitancji, które jest bardzo przydatne i wygodne w wielu zastowsowaniach.

Transmitancja to stosunek sygnału wyjściowego do wejściowego.

Transmitancja uzyskuje szczególnie zgrabną postać, jeśli sygnały wyjściowy i wejściowy przedstawimy w postaci transformat Laplace'a, ale o tym innym razem - teraz wróćmy do sygnałów.

Sygnały to bardzo rozległy temat.

Rozległy tak bardzo, że autorzy w ogóle nie mają zamiaru poważnie zmierzyć się z tym tematem, a jedynie bardzo wybiurczo przedstawione zostaną pewne funkcje, które służą do przybliżania sygnałów rzeczywistych.

Najbardziej zgrubny podział sygnałów, to podział na sygnały ciągłe i sygnały dyskretne.

Sygnały ciągłe to te, które zachowują ciągłość czasu.

W przeciwieństwie do sygnałów ciągłych, Sygnały dyskretne to te, które są określone tylko dla chwil czasu t należących do pewnego przeliczalnego zbioru.




AUTOMATYKA LINIOWA

Najgrubszy podział jaki można uczynić we spółczesnej automatyce, to podzielić ją na automatykę liniową i nieliniową.

Nie znaczy to wcale, że nie da się uczynić innego podziału..

Ta strona opowiada jedynie o automatyce liniowej. Dlaczego? Bo jeśli chodzi o automatykę nieliniową - to brak jest jakiejkolwiek jednolitej teorii. Rozwiązywane są jedynie proste problemy automatyki nieliniowej. Wiele problemów nie jest rozwiązanych i gdyby ktoś - jakiś geniusz matematyczny rozwiązał ten czy inny problem - to z pewnością w krótkim czasie stałby się bardzo bogatym człowiekiem! Bo jest wiele zagadnień, w których przyroda pokazuje nam swoje pazurki ostrzegając: W tym miejscu jestem nieliniowa - automatykom "liniowym" wstęp surowo wzbroniony pod groźbą popadnięcia w depresję i rozstrój nerwowy.

Być może na końcu zostanie coś wspomniane o automatyce nieliniowej, ale póki co, zajmiemy się automatyką liniową, bo jest łatwiejsza i dobrze poznana.

Jakaż więc jest automatyka liniowa? Proszę sobie zapamiętać, że w układzie pretendującym do miana "liniowy" musi być spełniona zasada superpozycji

Zasada superpozycji

Aby ją wytłumaczyć odwołajmy się do przykładu i wyobraźmy sobie dobrej klasy sprzęt grający - wzmacniacz i kolumny - jeśli chcemy zrobić głośniej, to przekręcamy potencjometrem głośności i każdy się spodziewa, że moc dźwięku będzie proporcjonalna do położenia potencjometru.
Położenie potencjometru automatyk utożami ze sterowaniem (lub sygnałem wejściowym), czyli wielkością za pomocą której regulowany jest inny paramert - moc dźwięku, czyli sygnał wyjściowy. Rolę regulatora w naszym przykładzie spełnia wzmacniacz.

W powyższym opisie pojawia się słowo "proporcjonalność". Właśnie na owej proporcjonalnej zależności mocy dźwięku od położenia potencjometru polega spełnienie zasady superpozycji. A ponieważ proporcjonalność jest zależnością liniową, stąd też i nazwa: automatyka liniowa.
(Powyższy przykład jest może o tyle niedobry, że czułość ludzkiego ucha nie jest proporcjonalna, ale logarytmiczna, ale z drugiej strony wzmacniacz - a zakładamy, że jest to dobry wzmacniacz - naprawia naszą głuchotę i powoduje, że słyszymy natężenie dźwięku propocjonalne do położenia pokrętła).

Najogólniej zasadę superpozycji możnaby streścić w ten sposób, że jeśli wymuszenie będzie dwa razy większe, to dwa razy większa będzie odpowiedź. Piękne proste i wspaniałe - wręcz zachwycające!

Mogłoby się wydawać, że skoro obiekt liniowy jest tym "dobrym", a nieliniowy tym "gorszym", to obiektów nieliniowych jest niewiele w porównaniu z liniowymi, które w pewnym sensie są "porządnymi" obiektami.
Nic bardziej mylącego! Otaczający nas świat jest w większości nieliniowy. To tak, jak przypuszczać, że większość mężczyzn, to "porządni" mężczyźni, jak chciałoby wierzyć wiele dziewczyn. Jednak nie sposób nie natknąć się w parku na "nieporządnego" śpiącego na ławce i (niestety) chyba nikt wieczorem nie wychodzi w domu bez obwawy przed spotkaniem z "nieporządnym".
Automatyk musi liczyć się z tym, że wcześniej czy później spotka na swej drodze "obiekt" nieliniowy, który sprawi mu mnóstwo kłopotów.

Kilka niezaszczytnych przykładów obiektów nieliniowych

Przykład obiektu nieliniowego?
Oczywiście można sobie wyobrazić zepsuty potencjometr. Można go spotkać w starych telewizorach u studentów w akademiku. Na początek, telewizor taki nie daje się na przykład ściszyć zupełnie, a w miarę robienia głośniej co prawda pozwala się "pogłaśnianiać", ale w miarę przychodzenia nowych kolegów, a szczególnie rozwrzeszczanych koleżanek z roku - w pokoju robi sie coraz głośniej, tak, że telemaniak zmuszony jest kolejny raz chwycić za potencjometr.
Niestety, chociaż jest na nim sporo miejca do przekręcenia w prawo, to tym razem sprzęt zawodzi i zamiast zmierzyć się z głośną atmosferą w pokoju - dźwięk cichnie. Brak tutaj liniowej zależności efektu albo raczej wyjścia, jak zwykli mawiać automatycy - czyli natężenia dźwięku płynącego z głośnika - od wejścia, czyli ręki nieszczęsnego telemaniaka: zasada superpozycji nie jest spełniona...

Dzieciak jest typowym obiektem nieliniowym, bo kiedy Mama mówi do niego: Posprzątaj pokój, to obiekt nie reaguje. Po chwili Mama mówi głośniej: Prosiłam cię, żebyś posprzątał pokój - i tym razem nic. Dopiero gdy Mama wrzaśnie z całej siły: Posprzątaj pokój!! - obiekt raptownie reaguje. Obiekt liniowy (np. dziewczyna) sprzątałby pokój z pośpiechem stosowym do irytacji zawartym w głosie Mamy. I na pewno nie wymagałby ponaglania.

Kran w akademiku również jest obiektem nieliniowym. W odróżnieniu od kranu domowego, który jest obiektem liniowym i z którego leci strumień wody stosowny do przekręcenia kurka, ten akademikowy jest zgoła inny: z początku nie cieknie z niego nic, aż wreszcie kiedy zniecierpliwieni przekręcamy kurek gwałtowniej - kran bucha pełnym przekrojem swojej gardzieli.
Automatyka ma nawet nazwę na takie zachowanie: mówimy o kranie dyskretnym: woda leci albo nie leci wcale.

Również przysznic w akademiku jest obiektem nieliniowym. W odróżnieniu od prysznica domowego, który jest obiektem liniowym i z którego leci strumień wody stosowny do przekręcenia kurka, ten akademikowy jest zgoła inny: co prawda nie jest prysznicem dyskretnym, nie martwcie się - tak źle nie jest. Niemniej z początku prysznic akademikowy cechuje się pewną bezwładnością, podobą do tej, którą ma kran, jednak po jej pokonaniu woda leci stoniowo. Na tym etapie prysznic akademikowy podobny jest do domowego.
Jeśli jednak jest zainstalowany na wyższych piętrach i używany jest akurat w trakcie gwałtownego zużywania wody na niższych piętrach (na przykład przez inne prysznice), to niemal na pewno zajdzie potrzeba skorygowania z trudem wcześniej ustalonej odpowiedniej proporcji zimnej i ciepłej wody.
Konieczność takiej korekcji wynika z nierównomiernego rozkładu ciśnienia wody na wyższych kondygnacjach. I chociaż Nauka jest bezsilna wobec tego problemu nie znaczy to wcale, że nie można przeciwdziałać temu na własną rękę - przekręcenie kurka w przeciwną stronę nie od razu przyniesie efekt: da się zaoberwować identyczny bezwład, jaki miał miejsce przy odkręcaniu.
Pospolicie nazywa się to "luz" ale automatyka ma swoją nazwę na takie zachowanie: mówimy o prysznicu z histerezą, która znacząco utrudnia ustalenie żądanej temperatury wody, a poza tym nie jest do niczego potrzebna.
Z identycznym "luzem" mamy do czynienia w układzie kierowniczym każdego samochodu w tzw. gałkach. Kierowcy doskonale zdają sobie z tego sprawę i wiedzą, że po określonym przebiegu - gałki trzeba wymienić na nowe. W przeciwnym razie gwałtownie zużywa się ogumienie i cały układ kierowniczy, a skrajna niefrasobliwość kierowcy może być nawet przyczyną śmiertlnego wypadku!...
Gałki pod prysznicem w akademiku również ulegają zużyciu, dlatego z czasem stają się nieliniowe. Inaczej jednak niż samochowe - nie są wymieniane, ponieważ ich nieliniowość nie grozi śniertelnym wypadkiem, a co najwyżej poparzeniem, dlatego też nierzadko w akademiku rozlegają się przekleństwa lub piski - w zależności od tego, czy nieostrożnym użytkownikiem jest chłopak czy dziewczyna...

Jeśli kogoś przeraża, że na studiach nic nie jest liniowe czyli proste - niech sie nie martwi: automatyka uczy, że każdy nieliniowy obiekt można lokalnie traktować jako liniowy.

A zresztą - kto powiedział, że studia mają być proste?!

Z tą lokalną liniowością obiektów nieliniowych to tak, jak ktoś może się upierać, że Ziemia jest płaska, a nie kulista. Jego błędne przekonanie wynika stąd, że lokalnie, w jego najbliższym otoczeniu Ziemia istotnia wygląda na płaską. I jeśli ten ktoś chce obliczyć tor lotu piłki, to krzywiznę Ziemi może zaniedbać, ale jeśli zechce obliczyć tor lotu rakiety balistycznej - wówczas musi postąpić inaczej: oblicza tor rakiedy do miejsca, o którym może jeszcze powiedzieć, że Ziemia jeszcze jest w nim jest płaska, przerywa obliczenia i idzie do tego miejsca, do którego "doleciała" jego rakieta. Kiedy już tam zajdzie to spostrzeże, że z tego miejsca gdzie stoi, spory kawałek Ziemi wygląda na płaski, a więc powtarza czynność z pierwszego kroku i tak dalej. Tym sposobem, posługując się metodą "liniową" zdoła obliczyć cały tor lotu rakiety, chociaż Ziemia wcale płaską nie jest.

Kończąc przegląd nieliniowych obiektów z życia codziennego warto chyba przedstawić choć jeden techniczny przykład obiektu nieliniowego.
Każdy, kto w miarę uważał na lekcjach elektrotechniki, ten z pewnością pamięta wzór:

U = R · i

Opisuje on zależność wartości napięcia elektrycznego na zaciskach idealnego opornika o oporze R jako funkcję natężenia prądu elektrycznego przezeń płynącego.
W całym zdaniu najważniejsze jest słowo "idealny". Idealny mąż to taki, który nie jest podatny na nagabywanie kolegów i nie idzie z nimi na piwo, lecz po pracy wraca prosto do domu. Również w przypadku opornika owa "idealność" pojmowana jest tutaj jako absolutna niezależność od jakichkolwiek wpływów zewnętrznych: mąż wraca prosto do domu niezależnie od tego, jak wysoka jest oferta kolegów, wartość oporu opornika wynosi R i nic tego nie może zmienić.
To znaczy "idealny"! Czyli w powyższym przykładzie ów idealny opornik jak najbardziej jest obiektem liniowym.
W rzeczywistości tak nie jest, opronik idealny nie istnieje. Obiad stygnie, a prąd płynący przez opornik nagrzewa go, wskutek czego zwiększa się jego opór. Zależność oporu od temperatury wprowadza nieliniowość. Łatwo jest też się zgodzić, że zasada superpozycji nie jest tu spełniona, bo dwa razy większy prąd spowoduje nagrzanie sie opornika i zwiększenie jego oporu, a więc napięcie nie będzie już U = 2 · R · i, ale nieco większe, ponieważ minimalnie zwiększył się opór R.

Korzystając z tego, że mówimy o oporności, autorzy pozwolą sobie przypomnieć jeszcze jedno "prawo". Wspomniano na wstępie, że strona adresowana jest do uczennic i uczniów szkół średnich, a któż - chodząc do szkoły - nie słyszał o tym, że ciało w ciemności traci na ...

To empiryczne prawo z pogranicza techniki stosowanej stwierdza jedynie że traci, nie mówi natomiast jak traci i z tego powodu jego stosowalność jest z pewnością utrudniona, jeśli w ogóle możliwa.
Materiał doświadczalny autorów jest w tej mierze zbyt skromny, aby na jego podstawie można było orzec, czy zależność ta spełnia zasadę superpozycji. Są oni skłonni przypuścić, że zbadanie tego zjawiska wymyka się wszelkim próbom usystematyzowania, albowiem zależność owego parametru od ciemności, zdaje się być cechą wybitnie indywidualną badanego obiektu i w zasadzie nie sposób przewidzieć jego reakcji na symulowany brak zasilania.
Sprawdzenie tej zależności autorzy pozostawiją Czytelnikom do zbadania we własnym zakresie.

Mamy nadzieję, że Czytelnik wyrobił sobie pojęcie, jak różne mogą być rodzaje nieliniowości i że nieliniowości mogą być przyczyną kłopotów nawet w życiu codziennym.
Z drugiej strony z nieliniowością niejednokrotnie łatwiej poradzić sobie w życiu codziennym, niż w świecie matematyki. Automatycy mają z nią sporo problemów.
Z uświadomienia sobie różnorodności nieliniowości wypływa wniosek, że obiekty nieliniowe są o wiele bogatsze niż liniowe: wszak można sobie wyobrazić bardzo wiele rodzajów nieliniowości, a liniowość jest jedna: odpowiedź obiektu zależy w sposób proporcjonalny od wymuszenia.
Pozwala nam to wyrobić sobie intuicyjny pogląd, że automatyka liniowa musi być o wiele prostszą od nieliniowej i taką jest w istocie.

Trud włożony w podanie i omówienie przykładów obiektów nieliniowych miał za zadanie życzliwie i przyjaźnie usposobić Czytelnika wobec obiektów, którymi będziemy się zajmować, wobec obiektów liniowych. Miał w Niego wpoić przekonanie, że to czym będziemy się zajmować jest łatwe i przyjemne.

Język automatyki

Przy omawianiu zasady syperpozycji i przykładu z ze wzmacniaczem dobrej jakości, użyto sformułowań: wymuszenie, regulowany parametr i regulator.

W nieco szerszym ujęciu słowa te można zamienić na: sygnał wejściowy, sygnał wyjściowy i obiekt albo jeszcze lepiej - obiekt dynamiczny.

Schematycznie automatycy przedstawiają to w sposób następujący:

Schemat obiektu automatyki liniowej

Obrazek ten wymaga sporo wyjaśnień.

Najkrócej rzecz ujmując:

Zadaniem automatyki jest regulacja procesów. Każdy chyba intuicyjnie wyczuwa, że samo słowo "proces", ma w sobie coś dynamicznego, bo i trudno wyobrazić sobie, że regulujemy coś statycznego, coś, co sie nie zmienia, stąd też w ogólnym przypadku zarówno sygnał wejściowy, jak i wyjściowy zmienia się w czasie. Automatycy zwykli mówić, że sygnały te są funkcją czasu, czego wyrazem jest ich zapis: u(t), y(t).

Jakoś tak się przyjęło, że czas oznaczany jest literką 't' i wszyscy ludzie nauki, a wszczególności fizycy i automatycy często go używają dla zaznaczenia i podkreślenia, że jakaś tam wielkość zmienia się w czasie. Nikt wtedy nie ma wątpliwości, że wielkość ta nie jest niezmienną, ale wręcz przeciwnie - że jest dymamiczną.

Skoro więc naszemu tajemniczemu na razie obiektowi podajemy na wejście sygnał u(t), czyli zmienny w czasie, a na wyjściu oczekujemy sygnału y(t) - również zmiennego w czasie, to moglibyśmy określić nasz obiekt mianem obiekt dynamiczny. Często też automatycy mówią o dynamice obiektu, czyli o tym, jaki on jest w środku.

Sygnałem wejściowym może być na przykład ręka telemaniaka, naiwniaka, który wierzy, że uda mu się wydobyć ze starego gruchota żądaną moc dźwięku, poirytowany głos mamy albo prąd o natężeniu i powodujący zaistnienie na zaciskach idealnego opornika napięcia U = R · i.

Sygnałem wyjściowym dla powyższych przykłasów będzie niepożądana moc dźwięku, nieposłuszeństwo i lenistwo synka oraz napięcie U = R · i.

Wyrazem tego, jaki obiekt jest w środku, jest - jak już wcześniej wspomniano - jego transmitancja. Na rysunku oznaczona jest symbolem G(s). Tak jest - transmitancja zespolona jest funkcją zmiennej zespolonej.

Skoro już poznaliśmy czym są liczby zespole, transmitancja i to jak się oznacza transmitancję, to nadszedł najwyższy czas, aby zapoznać się z tym, z czym na samym początku strona zapoznać obiecuje, to jest z podstawowymi obiektami w automatyce, jakimi są regulatory.

Jednocześnie przy ich omawianiu będą prezentowane równania, którymi te obiekty są opisywane, a więc będzie to zarazem kontynyuacja rozdziału o języku automatyki.

Podstawowe typy obiektów

Obiekt proporcjonalny

Powiedzmy sobie od razu na początku szczerze, że coś takiego nie istnieje. Tak, jak opornik idealny nie istnieje. Regulator proporcjonalny jest wymysłem czysto matematycznym, jest jednak pojęciem niezwykle ważnym i użytecznym. Powinniśmy jednak zdawać sobie sprawę z tego, że regulator proporcjonalny z rzeczywistością ma tylko tyle wspólnego, że regulatory rzeczywiste jedynie udają, że są proporcjonalne, a my im wierzymy.

Obiekt proporcjonalny oznaczany jest literą P.

Związek jaki zachodzi pomiędzy wyjściem a wejściem można zapisać:

Obiekt proporcjonalny

Należy pamiętać, że na w dziedzinie zespolonej obiekt ten jest opisany równaniem Y(s)=G(s)U(s). Dotyczy to również każdego obiektu, który jest opisany za pomocą tranmitancji G(s), a więc w szczególności każdego obiektu opisywanego poniżej. Z tego powodu zaniechano pisanie za każdym razem wyrażenia Y(s)=G(s)U(s). Napis taki tkwi na rysunku opisującym transmitancję.
W dziedzinie czasowej nie da się natomiast napisać y(t)=g(t)u(t). To równanie jest fałszywe. Nie istnieje coś takiego, jak g(t). W dziedzinie czasowej zależność pomiędzy wejściem u(t), a wyjściem y(t) zapisana jest zazwyczaj za pomocą równania różniczkowego i z tego powodu na wspomnianym rysunku napisano y(t)=f(u(t)).

W dziedzinie czasowej obiekt proporcjonalny opisany jest równaniem:

Obiekt proporcjonalny

Przyjrzawszy się powyższemu równaniu ławiej pojąć, dlaczego idealny regulator proporcjonalny nie istnieje: mówi ono, że sygnał wyjściowy "pojawia się" w tej samej chwili, gdy na wejście obiektu podawany jest sygnał wejściowy, co przeczy zdroworozsądkowemu rozumowaniu, które podpowiada, że na przetworzenie sygnału przez jakiekolwiek urządzenie potrzebny jest czas.

Odpowiedź obiektu proporcjonalnego na skok jednostkowy przedstawia aplet na poniższym wykresie:

Obiekt inercyjny

Obiekt inercyjny oznaczany jest PI.

Transmitancja obiektu inercyjnego wynosi:

Obiekt inercyjny

W dziedzinie czasowej obiekt inercyjny opisany jest równaniem:

Obiekt inercyjny

Odpowiedź obiektu inercyjnego na skok jednostkowy przedstawia aplet na poniższym wykresie:

Każdy rozumie wzór:

Obiekt proporcjonalny

- sygnał wyjściowy jest pomnożonym sygnałem wejściowym przez stały współczynnik, ale jak rozumieć wzór opisujący obiekt inercyjny?

Stanie się on bardziej podobny do równania opisującego obiekt proporcjonalny, jeśli przekształcimy go do postaci:

Obiekt inercyjny

wtedy widać, że obiekt inercyjny to taki obiekt proporcjonalny, którego wyjście jest pomniejszone o szybkość zmian jakie się na tym wyjściu dokonują pomnożoną przez tzw. stałą czasową T. Ponieważ, jak widać, przez ową stała czasową mnożona jest pochodna sygnału wyjściowego, więc odgrywa ona ważnę rolę w tym, jak szybko będą dokonywały się zmiany na wyjściu. Im mniejsza jest stała czasowa, tym bardziej obiekt inercyjny przypomina obiekt proporcjonalny, bo zmiany na wyjściu mogą dokonywać się szybciej.

Obiekt inercyjny ma bardzo ważna cechę: jeśli wymuszenie nie bedzie jakimś szczególnym sygnałem pochodzący z tzw. dziedziny dystrybucji, do której należy delta Diraca, to obiekt inercyjny zapewnia ciągłość sygnału na wyjściu. Tak więc jeśli nawet wymuszenie (wygnał wejściowy) będzie nieciągłe, to mimo to sygnał wyjściowy będzie ciągły i będzie się starał nadążać za wymuszeniem.
Przypuśćmy, że sygnały u(t) i y(t) miały do chwili to=0 wartości 0 (zero), zaś w chwili to=0 u(t)skoczył na wartość 1 (jeden) i utrzymywał już zawsze tą wartość. Sygnał taki zwie się skokiem jednostkowym. Obiekt proporcjonalny pomnożyłby tą nagłą zmianą wartości sygnału wejściowego. Obiekt inercyjny zachowa sygnał w chwili to, natomiast gwałtownie zmieni pochodną i to tak ją zmieni, żeby oczywiście spełnione było równanie:

Obiekt inercyjny

Ponieważ y(0)=0, u(0)=1, więc pochodna y'(0)=K/T.

Czyli widać, że obiekt inercyjny zachowuje ciągłość sygnału na wyjściu, ale nie zachowuje ciągłości pochodnej sygnału na wyjściu.

Pokuśmy się o małe usystematyzowanie: Obiekt proporcjonalny ze swej natury nie zachowuje ciągłości sygnału na wyjściu. Natomiast obiekt inercyjny jest obiektem pierwszego rzędu - zachowuje ciągłość sygnału na wyjściu, natomiast obiekt oscylacyjny, obiekt drugiego rzędu, o którym jest mowa poniżej - zachowuje ciągłość sygnału wyjściowego i ciągłość jego pochodnej.

Znaczenie stałej czasowej można zilustrować następującym przykładem: niech dwaj koledzy jeżdżą samochodami: jeden sportowym BMW, a drugi maluchem. Kiedy pierwszy "depnie" w swoim samochodzie na gaz, to samochód błyskawicznie przyśpiesza, a kierowca wciskany jest w fotel. Natomiast kierowca malucha może sobie "deptać", a i tak maluch rozpędzać się będzie powoli.
Ponieważ można uznać, że owe nagłe naciśnięcie na pedał gazu dokonane były w jednej chwili, więc można je przyrównać do skoku jednostkowego, natomiast prędkość samochodów - do sygnałów wyjściowych. BMW rozpędzało się błyskawicznie, a zatem w jego pośpiechu za wymuszeniem widzimy małą stałą czasową, no a maluch cóż - ma bardzo dużą stałą czasową.

Obiekt oscylacyjny

Transmitancja:

Obiekt oscylacyjny

W dziedzinie czasowej obiekt oscylacyjny opisany jest równaniem:

Obiekt oscylacyjny

Parametr Częstotliwość własna nazywany jest częstotliwością własną lub rezonansową, natomiast Tłumienie - tłumieniem. Jeśli Tłumienie<1 to odpowiedź skokowa ma charakter oscylacyjny, w przeciwnym wypadku mówi się, że układ jest przetłumiony i wówczas w odpowiedzi na skok jednostkowy układ stopniowo dochodzi do wartości ustalonej.

Człon oscylacyjny może modelować różnego rodzaju układy drgające, do których należą zarówno układy mechaniczne, jak i elektryczne. Przykładami układów mechanicznych są różnego typu wahadła, a przykładem układów elektrycznych są tzw. układy rezonansowe.

Odpowiedź obiektu oscylacyjnego na skok jednostkowy przedstawia aplet na poniższym wykresie:

Mianownik transmitancji obiektu oscylacyjnego jest wielomianem zespolonym drugiego rzędu, a jak już wspominano - w dziedzinie liczb zespolonych wielomian stopnia n ma dokładnie n różnych rozwiązań, zatem zawsze mianownik można rozłożyć na czynniki liniowe, wówczas mianownik M(s) będzie miał postać:

M(s)=(s-s1)(s-s2)

Co więcej: wiadomo, że s2=s1*. Dzieje się tak dlatego, gdy Tłumienie<1, a więc gdy wyróżnik jest mianownika transmitancji jest ujemny. Obwód fizyczny nanifestuje taką sytuację oscylacjami.

Gdy Tłumienie>1 wówczas mianownik transmitancji ma dwa pierwiastki rzeczywiste i transmitancja daje się wówczas wyrazić w postaci:

a równanie czasowe przybiera postać:

Na obiekt taki mówi się często: obiekt dwuinercyjny.

Gdy Tłumienie=1 wówczas wyróżnik mianownika jest zerem i wtedy T2=T1.

Obiekt piątego rzędu

Obiekt piątego rzędu został podany w postaci ogólnej, jako podsumowanie przeglądu podstawowych liniowych obiektów automatyki. Manewrując dpowiednio jego nastawami można uzyskać każdy obiekt niższego rzędu, w tym każdy obiekt, który został do tej pory na tej stronie przedstawiony. <>BR>
Aby Czytelnikowi ułatwić zadanie, tak jak we wszystkich wcześniejszych apletach w ostatnim oknie wyboru przygotowano gotowe przykłady, które są tak dobrane, aby wiernie odzwierciedlały przykłady z poprzednich apletów.

Obiekt piątego rzędu

W dziedzinie czasowej obiekt piątego rzędu opisany jest równaniem:

Obiekt piątego rzędu

Odpowiedź obiektu piątego rzędu przedstawia aplet na poniższym wykresie, ale zanim zacznisz, Drogi Czytelniku, eksperymentować z apletem należy Cię przestrzec, że obiekt piątego rzędu jest o wiele trudniejszy do policzenia niż obiekty w poprzednich przykładach, dlatego musisz wykazać nieco więc cierpliwości, ponieważ obiekt ten liczy się wyczuwalnie dłużej:

Jak już wspomniano nie da się fizycznie zrealizować transmitancji w której w której stopień licznika jest większy niż stopień mianownika. Aplet zabezpiecza się przed podaniem niewłaściwych nastaw. Ściślej mówiąc zabezpieczenie to umieszczone jest w m-pliku, którego wykonanie daje odpowiedni wykres. M-plik jest wykonywany przez Matlaba. Matlab jest specjalizowanym programem do obliczeń numerycznych, ale nawet on "nie umie" obliczyć odpowiedzi dla obiektu, którego stopień licznika transmitancji jest większy od stopnia jej mianownika.


Podstawowe struktury układów sterowania

W przypadku kiedy chcemy oddziaływać na jednen, nieskomplikowany proces wtedy wykorzystuje się dwie proste struktury układów sterowania:

Otwarty układ sterowania

W otwartym układzie sterowania pobudza się wejście układu, lecz tego, co dzieje się na wyjściu układu nie wykorzystuje się w żaden sposób do określenia tego, w jaki sposób należy pobudzać wejście. Z takim rodzajem sterowania mieliśmy do czynienia w dotychczasowych apletach. Wadą takiego rozwiązania jest niewykorzystanie informacji o tym co dzieje się na wyjściu do określenia sposobu sterowania.
Sterowanie w układzie otwartym przypomina trochu sytuację błądzenia po omacku, zważywszy, że na wyjściu chcemy mieć określony stan, więc sterujemy, ale nie sprawdzamy, jaki jest ten stan. Wymaga to solidnej znajomości zachowania sterowanego obiektu i niezwykle precyzyjnego sterowania.

Ze sterowaniem w układzie otwartym mamy do czynienie podczas poszukiwania skarbu: idź trzydzieści kroków na północ od rozłożystego dębu, skręć na wschód, idź pięćdziesiąt kroków i kop. To jest sterowanie w układzie otwartym.

Podstawowe struktury układów regulacji

Zamknięte układy sterowania zwane są układami regulacji i wyróżnia się dwie podstawowe struktury, obie przedstawione na powyższym rysunku.

W zamkniętym układzie regulacji do określenia sposobu odziaływania na układ wykorzystywany jest stan wyjścia układu.
W układzie z kompensatorem w torze sprzężenia zwrotnego przetwarzany jest uchyb regulacji, czyli różnica pomiędzy sygnałem wejściowym a sygnałem wyjściowym, natomiast w układzie z regulatorem w torze głównym przetwarzana jest wartość wyściowa sygnału.

Poniższe aplety symulują układ regulacji z regulatorem w torze głównym.

Aplety te zostały napisane tak, że regulatorem może być regulator P,PI lub PID, natomiast obiektem może być obiekt proporcjonalny, inercyjny lub oscylacyjny.

P/K: Regulator P, obiekt proporcjonalny:


P/Osc: Regulator P, obiekt oscylacyjny

PI/K: Regulator PI, obiekt proporcjonalny:


PI/In: Regulator PI, obiekt inercyjny:


PI/Osc: Regulator PI, obiekt oscylacyjny


PID/K: Regulator PID, obiekt proporcjonalny:


PID/In: Regulator PID, obiekt inercyjny:


PID/Osc: Regulator PID, obiekt oscylacyjny:


Strona wciaz w rozbudowie.

cofnij sie