Zagadnienia równowagi ciała sztywnego

2.2. Zagadnienia równowagi ciała sztywnego

2.2.1. Ogólne warunki równowagi dowolnego układu sił

Dowolny układ sił przyłożonych do ciała stałego wywoła skutek mechaniczny, zależny na ogół od punktu przyłożenia tych sił. Jako skutek mechaniczny rozumiemy zmianę ruchu lub odkształcenia tego ciała. Cechą charakteryzującą ciało sztywne jest to, że nie może się ono odkształcać pod wpływem przyłożonych sił. Jedynym skutkiem mechanicznym sił działających na ciało sztywne może więc być tylko zmiana ruchu.
Jeżeli obierzemy dowolny punkt 0 (punkt redukcji), możemy dowolny układ sił działających na bryłę sztywną zastąpić równoważnym jemu układem składającym się tylko z jednej siły przyłożonej w punkcie 0 oraz z pary sił.

Przyłóżmy w punkcie O n sił oraz n sił
=.
Nie wpłynie to na zmianę skutków mechanicznych, gdyż suma wszystkich tych sił przyłożonych w pkt. O jest równa zeru.
W rezultacie otrzymujemy n sił zbieżnych w pkt. O, oraz n par sił , .

Rys.2.5 Redukcja dowolnego układu sił

wielkość tej siły i momentu pary sił wynosi:

(2.2)

Układ sił jest wtedy w równowadze, gdy suma sił oraz suma momentów względem dowolnego punktu są równe zeru

.
W przestrzennym układzie sił (x, y, z) otrzymamy sześć równoważnych równań algebraicznych określających warunki równowagi sił działających na bryłę sztywną. Trzy równania rzutów sił na osie współrzędnych (x, y, z) oraz trzy równania momentów sił względem tych osi.
Będziemy zajmować się płaskim układem sił, gdy rozważany układ sił znajduje się w jednej płaszczyźnie (x, y).

Schemat obciążenia bryły sztywnej	Rodzaj układu	Warunki równowagi sił działających na bryłę
	dowolny
	zbieżny
	równoległy	Punkt redukcji, pkt.B

Rys.2.6 Warunki równowagi płaskiego układu sił (x,y)

2.2.2. Podpory i reakcje podpór bryły sztywnej

Będziemy zajmować się oddziaływaniem "stykowym" dwóch brył sztywnych (w przeciwieństwie do oddziaływania np. grawitacyjnego dwóch ciał niebieskich - zagadnienie Newtona).
Weźmy pod uwagę bryłę znajdującą się w równowadze oraz pewien inercyjny układ współrzędnych, w którym ta bryła pozostaje w spoczynku. Elementy wiążące tę bryłę z obranym układem współrzędnych i uniemożliwiające swobodę jej położenia i jej przemieszczeń nazywamy podporami. Siły, z którymi podpory (czyli inne bryły stykające się z daną bryłą) oddziaływują na rozpatrywaną bryłę w miejscach zetknięcia, nazywamy reakcjami podpór.
Rozpatrzmy dwa rodzaje najczęściej spotykanych podpór. Pierwszy rodzaj to podpory kierunkowe, których reakcje leżą na znanej linii działania l, zaś drugi rodzaj to podpory przegubowe, których reakcje przechodzą przez znany punkt A.

Rodzaj podpory	Schemat podpory	Nazwa podpory	Opis linii działania redakcji podpory	Wielkość niewiadomej
podpory kierunkowe		styk gładki	linia l jest _\|_ do pł. styku p	wartość reakcji
podpory kierunkowe		pręt z dwoma przegubami kulistymi	linia l pokrywa się z osią pręta	wartość reakcji
podpory kierunkowe		przgub przesuwny	linia l jest _\|_ do pł. przesunięcia s	wartość reakcji
podpory kierunkowe		łożysko poziome	linia l jest _\|_ do osi pręta	wartość reakcji
podpory przegubowe		przegub kulisty	linia l przechodzi przez znany punkt A	wartość i kierunek reakcji
podpory przegubowe		przegub nieprzesuwny	linia l przechodzi przez znany punkt A	wartość i kierunek reakcji
podpory przegubowe		łożysko pionowe	linia l przechodzi przez znany punkt A	wartość i kierunek reakcji

Rys 2.7 Zestawienie rodzajów podpór

Niech na daną bryłę sztywną unieruchomioną za pomocą pewnej liczby podpór działa n znanych sił

oraz m niewiadomych reakcji podpór

. Ponieważ bryła za pomocą podpór znajduje się w spoczynku, więc wszystkie (m + n) sił muszą być w równowadze. Warunki równowagi dla płaskiego układu sił są przedstawione na rys. 2.6. Układ odniesienia, czyli położenie osi rzutowania oraz punktu redukcji momentu można obierać zupełnie dowolnie, jeżeli układ sił jest w równowadze. Wykorzystanie tego warunku dowolności pozwala w wielu przypadkach uprościć obliczenia.
Z rys. 2.6 wynika, że każdy dowolny płaski układ sił będący w równowadze musi spełniać trzy równania algebraiczne. Liczba niewiadomych występujących (reakcji podpór) w tych równaniach musi wynosić trzy. Aby więc można było obliczyć reakcje podpór na bryłę sztywną, podparcie należy zrealizować przy pomocy trzech podpór kierunkowych lub jednej przegubowej i jednej kierunkowej. Dla zbieżnego i równoległego układu sił mamy tylko dwa równania algebraiczne, więc, liczba niewiadomych musi wynosić dwie. Czytelnik może zastanowić się, jakie podparcia spełnią te dwa równania. Jeżeli liczba niewiadomych jest większa niż liczba równań równowagi układu sił, problem staje się statycznie niewyznaczalny. W tym przypadku brakujące równania można otrzymać stosując teorię sprężystości, która uwzględnia odkształcalność ciał stałych.

2.2.3. Analityczne wyznaczanie reakcji podpór. Przykłady.

Przykład 2.1

Skrzynka o ciężarze 20N zawieszona jest u sufitu na sznurze AB i przyciągnięta do ściany linką BC. Wyznaczyć siły: T_A w sznurze AB i T_C w lince BC, jeżeli wiadomo, że kąt a = 60°, a kąt ß = 135°. Ciężar sznura i linki pominąć.

Rys. do przykł. 2.1

Zgodnie z rys. 2.7. oznaczymy siły w linach T_A i T_C, zaś zgodnie z rys. 2.6 mamy dwa równania równowagi:
W_X = 0, W_Y = 0
W_X = T_Acos a - T_Ccos (ß - 90°) = 0
W_Y = T_A sin a + T_C sin (ß - 90°) - Q = 0

Odp. T_A = 14,6 N ; T_C = 10,3 N

Przykład 2.2

Pręt AB jest przymocowany do pionowej ściany przegubem A i utrzymywany pod kątem a = 60° względem pionu przez linkę BC, tworzącą z nim kąt ß = 30°. Znaleźć wielkość i kierunek reakcji R przegubu, jeżeli wiadomo, że ciężar pręta wynosi Q=200 N.

Rys. do przykł. 2.2

Zgodnie z rys. 2.7 oznaczmy siłę w linie S oraz reakcję przegubu R. Ciężar Q jest przyłożony w połowie długości pręta AB. Aby pręt .pozostawał w równowadze, te trzy siły muszą przecinać się w jednym punkcie E.
Zaś zgodnie z rys. 2.6 mamy dwa równania równowagi:
W_X = 0, W_Y = 0
Z twierdzenia Talesa:

czyli punkt E leży w połowie odcinka BC.
Ponieważ AC = AB czyli, AE jest wysokością trójkąta CAB i kąt między reakcją R i odcinkiem AC wynosi 60°.
W_X = -S cos 60° + R cos 30° = 0
W_Y = R cos 60° - Q + S cos 30° = 0
Odp. R = (1/2)*Q = 100 N

Przykład 2.3

Dźwig ma pionową oś obrotu. Odległości: AB = 5m, AC = 5 m. Ciężar własny dźwigu wynosi Q = 2O kN, jego: środek ciężkości D znajduje się w odległości 2 m od osi. obrotu. Podnoszony ciężar wynosi P = 30 kN. Znaleźć reakcje w łożyskach.

Rys. do przykł. 2.3

Zgodnie z rys. 2.7 reakcja R_A jest prostopadła do osi pręta (por. łożysko poziome) a reakcja R_B, tzn. jej linia działania przechodzi przez punkt B (por. łożysko pionowe).
Zaś zgodnie z rys. 2.6 mamy trzy równania równowagi:
W_X = 0, W_Y = 0, M_B = 0
W_X = R_Bx + R_A = 0
W_Y = R_By - Q - P = 0
M_B = R_A*AB + Q*2 + P*AC = 0
Odp. R_A = -38 kN; znak minus oznacza, że należy zmienić zwrot reakcji.
R_Bx = 38 kN, R_By = 50 kN

Przykład 2.4

Dla ramy pokazanej na rysunku wyznaczyć reakcję R_A w przegubie nieprzesuwnym i reakcję R_D w przegubie przesuwnym powstające pod działaniem siły P przyłożonej w punkcie B. Ciężar ramy pominąć.

Rys. do przykł. 2.4

Odp.

Przykład 2.5

Belka AB jest utrzymywana w położeniu poziomym przez pręt CD. Na końcu belki działa siła F = 30 kN pod kątem 60° do poziomu. Wyznaczyć siłę S w pręcie oraz reakcję w przegubie A. Ciężar pręta i belki pominąć.

Rys. do przykładu 2.5

Odp. S= 39 kN, R_A = 19,8 kN

Przykład 2.6.

Belka o ciężarze Q = 200 N jest przymocowana do ściany przy pomocy, przegubu i podparta prętem CD, z którym połączona jest także przegubowo. Na końcu belki zawie-szony jest ciężar P = 400 N. Ciężar pręta CD pominąć. Wyznaczyć reakcje przegubów A i C.

Rys. do przykł. 2.6

Odp. X_A = 500 N, Y_A = 266 N, R_C = 1000 N